反三角函数的导数及原函数在微积分中，反三角函数是常见的数学工具，广泛应用于物理、工程和数学分析等领域。掌握它们的导数和原函数有助于更深入地领会函数的变化规律以及积分运算的技巧。
这篇文章小编将对常见的反三角函数进行划重点，列出其导数与原函数，并以表格形式直观展示，便于查阅和记忆。
一、反三角函数的导数
1. 反正弦函数（arcsin x）
– 导数：$\fracd}dx} \arcsin x = \frac1}\sqrt1 – x^2}}$
– 定义域：$-1 \leq x \leq 1$
2. 反余弦函数（arccos x）
– 导数：$\fracd}dx} \arccos x = -\frac1}\sqrt1 – x^2}}$
– 定义域：$-1 \leq x \leq 1$
3. 反正切函数（arctan x）
– 导数：$\fracd}dx} \arctan x = \frac1}1 + x^2}$
– 定义域：$x \in \mathbbR}$
4. 反余切函数（arccot x）
– 导数：$\fracd}dx} \arccot x = -\frac1}1 + x^2}$
– 定义域：$x \in \mathbbR}$
5. 反正割函数（arcsec x）
– 导数：$\fracd}dx} \operatornamearcsec} x = \frac1}
– 定义域：$
6. 反余割函数（arccsc x）
– 导数：$\fracd}dx} \operatornamearccsc} x = -\frac1}
– 定义域：$
二、反三角函数的原函数（不定积分）
1. $\int \frac1}\sqrt1 – x^2}} dx = \arcsin x + C$
– 常用于求解圆弧相关难题
2. $\int \frac-1}\sqrt1 – x^2}} dx = \arccos x + C$
– 与反正弦函数互为负关系
3. $\int \frac1}1 + x^2} dx = \arctan x + C$
– 在计算角度变化时非常常见
4. $\int \frac-1}1 + x^2} dx = \arccot x + C$
– 与反正切函数互为负关系
5. $\int \frac1}
– 常用于涉及双曲线或几何难题
6. $\int \frac-1}
– 与反正割函数互为负关系
三、表格拓展资料
| 反三角函数 | 导数公式 | 原函数（不定积分） | ||
| arcsin x | $\frac1}\sqrt1 – x^2}}$ | $\arcsin x + C$ | ||
| arccos x | $-\frac1}\sqrt1 – x^2}}$ | $\arccos x + C$ | ||
| arctan x | $\frac1}1 + x^2}$ | $\arctan x + C$ | ||
| arccot x | $-\frac1}1 + x^2}$ | $\arccot x + C$ | ||
| arcsec x | $\frac1} | x | \sqrtx^2 – 1}}$ | $\operatornamearcsec} x + C$ |
| arccsc x | $-\frac1} | x | \sqrtx^2 – 1}}$ | $\operatornamearccsc} x + C$ |
四、
反三角函数的导数和原函数在微积分中具有重要地位，尤其在处理涉及角度、弧长、曲率等难题时，常常需要这些公式。通过领会其导数与积分之间的关系，可以更高效地解决实际难题。
建议在进修经过中多做练习题，结合图形领会其变化动向，从而加深对反三角函数的领会与应用能力。
